Question

已知函数f（x）=x²+3x|x-a|，其中a∈R．
（1）当a=2时，把函数f（x）写成分段函数的形式，并画出函数f（x）的图象；
（2）问是否存在正数a，使得函数f（x）在区间（1，3）上既有最大值又有最小值．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用绝对值的几何意义，可得分段函数，从而可得函数的图象；
（2）当a＞0时，由函数的图象可知，要使得函数f（x）在开区间（m，n）内既有最大值又有最小值，则最小值一定在x=a处取得，最大值在x=

3

4

a处取得，从而可得不等式组，由此可得结论．

解答：解：（1）当a=2时，f(x)=x2+3x|x-2|=

4x2-6x，x≥2 -2x2+6x，x＜2

，此时f（x）的图象如图所示：…（5分）

（2）当a＞0时，由函数的图象可知，要使得函数f（x）在开区间（m，n）内既有最大值又有最小值，则最小值一定在x=a处取得，最大值在x=

3

4

a处取得．
由题意得

3 4 a＞1 a＜3 f(1)＞f(a) f(3)＜f( 3 4 a)

，
又f（a）=a²，f(

3

4

a)=

9

8

a2，f（1）=3a-2，f（3）=36-9a，
代入得

3 4 a＞1 a＜3 3a-2＞a2 36-9a＜ 9 8 a2

，

4 3 ＜a＜3 1＜a＜2 a＞4 3 -4，或a＜-4 3 -4

，无解．
所以满足条件的实数a不存在．                                    …（10分）

点评：本题考查函数的最值，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．