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    已知△ABC中，B（-2，0），C（2，0），△ABC的周长为12，动点A的轨迹为曲线E．
    （1）求曲线E的方程；
    （2）设P、Q为E上两点，
    OP
    •
    OQ
    =0    ，过原点O作直线PQ的垂线，垂足为M，证明|OM|为定值．
    （1）∵|AB|+|AC|+|BC|=12，|BC|=4，
    ∴|AB|+|AC|=8＞4，
    ∴A的轨迹为椭圆，且2a=8，2c=4，
    ∴a2=16，c2=4，b2=12，
    ∵A，B，C不能共线，∴A点不能在x轴上，
    ∴曲线E的方程为
    x2
    16
    +
    y2
    12
    =1(y≠0)    …（5分）
    （2）证明：设直线PQ的方程为x=ny+m，
    由
    x=ny+m
    x2
    16
    +
    y2
    12
    =1
    得（4n2+3）y2+8mny+4m2-48=0，
    ∴y1+y2=-
    8mn
    4n2+3
    ，y1•y2=
    4m2-48
    4n2+3
    …（2分）
    ∴x1x2=(ny1+m)(ny2+m)=n2y1y2+mn(y1+y2)+m2=
    3m2-48n2
    4n2+3
    …（1分）
    ∵
    OP
    •
    OQ
    =0    ，∴x1x2+y1•y2=0，
    ∴
    3m2-48n2
    4n2+3
    +
    4m2-48
    4n2+3
    =0    ，
    ∴7m2-48n2-48=0…（1分）
    ∵|OM|为点O（0，0）到直线PQ：x-ny-m=0的距离，
    ∴|OM|=
    |-m|
    		n2+1
    ，
    ∴|OM|2=
    m2
    n2+1
    …（1分）
    由7m2-48n2-48=0得m2=
    48
    7
    (n2+1)    …（1分）
    ∴|OM|2=
    48
    7
    (n2+1)
    n2+1
    =
    48
    7
    ，
    ∴|OM|为定值…（1分）
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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，以
    		3
    2
    为离心率的椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A和B，点P是椭圆位于x轴上方的一点，且△PAB的面积最大值为2．
    （Ⅰ）求椭圆方程；
    （Ⅱ）设点Q是椭圆位于x轴下方的一点，直线AP、BQ的斜率分别为k1，k2，若k1=7k2，设△BPQ与△APQ的面积分别为S1，S2，求S1-S2的最大值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C的焦点在x轴上，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点．若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA=
    2
    3
    ．
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）求点R（0，1）与椭圆C上的点N之间的最大距离；
    （Ⅲ）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点P（-3，0），交y轴于点M．若
    MQ
    =2
    QP
    ，求直线l的斜率．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）
    （Ⅰ）求抛物线C的方程；
    （Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x-2于M、N两点，求|MN|的最小值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知焦点在x轴上的椭圆
    x2
    20
    +
    y2
    b2
    =1(b＞0)    经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点．
    （1）求该椭圆的标准方程；
    （2）求实数m的取值范围；
    （3）是否存在实数m，使△ABM为直角三角形，若存在，求出m的值，若不存，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知O为坐标原点，F是抛物线E：y2=4x的焦点．
    （Ⅰ）过F作直线l交抛物线E于P，Q两点，求
    OP
    •
    OQ
    的值；
    （Ⅱ）过点T（t，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N分别为线段AB，CD的中点，求△TMN的面积最小值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线C的方程为x2=4y，直线y=2与抛物线C相交于M，N两点，点A，B在抛物线C上．
    （Ⅰ）若∠BMN=∠AMN，求证：直线AB的斜率为
    		2
    ；
    （Ⅱ）若直线AB的斜率为
    		2
    ，求证点N到直线MA，MB的距离相等．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e=
    		5
    5
    ，过F1的直线交椭圆于M、N两点，且△MNF2周长为4
    		5
    ．
    （Ⅰ）求椭圆E的方程；
    （Ⅱ）已知过椭圆中心，且斜率为k（k≠0）的直线与椭圆交于A、B两点，P是线段AB的垂直平分线与椭圆E的一个交点，若△APB的面积为
    40
    9
    ，求k的值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线C1：y2=8x与双曲线C2：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    （a＞0，b＞0）有公共焦点F2，点A是曲线C1，C2在第一象限的交点，且|AF2|=5．
    （1）求双曲线C2的方程；
    （2）以双曲线C2的另一焦点F1为圆心的圆M与直线y=
    		3
    x    相切，圆N：（x-2）2+y2=1．过点P（1，
    		3
    ）作互相垂直且分别与圆M、圆N相交的直线l1和l2，设l1被圆M截得的弦长为s，l2被圆N截得的弦长为t，问：
    s
    t
    是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

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