Question

【题目】已知函数g（x）=（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数 的图象上．
（1）求实数a的值；
（2）解不等式f（x）＜ ；
（3）函数h（x）=|g（x+2）﹣2|的图象与直线y=2b有两个不同的交点时，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数g（x）的图象恒过定点A，当x﹣2=0时，即x=2，y=2，

∴A点的坐标为（2，2），

又A点在f（x）上，

∴f（2）= =a，解得a=1

（2）解：）f（x）＜ ，

∴ ＜ =0，

∴0＜x+1＜1，

∴﹣1＜x＜0，

∴不等式的解集为（﹣1，0）

（3）解：由（1）知g（x）=g（x）=2x﹣2+1，

∴h（x）=|g（x+2）﹣2|=|2x﹣1|=2b，

分别画出y=h（x）与y=2b的图象，如图所示：

由图象可知：0＜2b＜1，故b的取值范围为

【解析】（1）运用a0=1，令x﹣2=0，则x=2，求得g（2）=2，代入f（x），即可求得a=1；（2）运用对数函数的单调性，当a＞1时，f（x）在x＞0上递增，解不等式即可得到；（3）求出h（x），分别画出y=h（x）与y=2b的图象，由图象可知：0＜2b＜1，即可求出b的范围．
【考点精析】本题主要考查了指数函数的单调性与特殊点的相关知识点，需要掌握0<a<1时:在定义域上是单调减函数;a>1时:在定义域上是单调增函数才能正确解答此题．