Question

设函数f(x)＝x⁴＋ax³＋2x²＋b(x∈R)，其中a，b∈R．

(Ⅰ)当a＝－时，讨论函数f(x)的单调性；

(Ⅱ)若函数f(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围；

(Ⅲ)若对于任意的a∈[－2，2]，不等式f(x)≤1在[－1，1]上恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

所以f(x)在内是减函数　　5分 　　(Ⅱ)解：，显然x＝0不是方程4x2＋3ax＋4＝0的根． 　　为使f(x)仅在x＝0处有极值，必须4x2＋3ax＋4≥0恒成立，即有Δ＝9a2－64≤0　　8分 　　解此不等式，得．这时，f(0)＝b是唯一极值． 　　因此满足条件的a的取值范围是　　10分 　　(Ⅲ)解：由条件a∈[－2，2]可知Δ＝9a2－64＜0，从而4x2＋3ax＋4＞0恒成立． 　　当x＜0时，． 　　因此函数f(x)在[－1，1]上的最大值是f(1)与f(－1)两者中的较大者　　12分 　　为使对任意的a∈[－2，2]，不等式f(x)≤1在[－1，1]上恒成立，当且仅当 　　 　　所以b≤－4，因此满足条件的b的取值范围是(－∞，－4]　　14分