Question

甲、乙两地相距S（千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过c（千米/小时）．已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成．可变部分与速度v（千米/小时）的平方成正比，且比例系数为正常数b；固定部分为a元．
（1）试将全程运输成本Y（元）表示成速度V（千米/小时）的函数．
（2）为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？

Answer 1

分析：（1）确定汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，从而可得全程运输成本关于速度的函数；
（2）利用基本不等式，再分类讨论，即可求得最值．

解答：解：（1）依题意得，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为

s

v

，全程运输成本为y=a•

s

v

+bv²•

s

v

=s（

a

v

+bv），
故所求函数为y=s（

a

v

+bv），其定义域为v∈（0，c）
（2）∵s、a、b、v∈R⁺，∴s（

a

v

+bv）≥2s

ab

，当且仅当

a

v

=bv时取等号，此时v=

a b

若

a b

≤c，即v=

a b

时，全程运输成本最小．
若

a b

＞c，则当v∈（0，c）时，y=s（

a

v

+bv）-s（

a

c

+bc）=

s

vc

（c-v）（a-bcv）
∵c-v≥0，且a＞bc²，故有a-bcv≥a-bc²＞0
∴s（

a

v

+bv）≥s（

a

c

+bc），当且仅当v=c时取等号，即v=c时全程运输成本最小．

点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．