Question

平面直角坐标系中，过原点O的直线l与曲线y=e^x-1交于不同的A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线，与曲线y=lnx交于点C，D，则直线CD的斜率是

1

．

Answer 1

分析：设直线l的方程为y=kx（k＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞0，x₂＞0），则直线CD的斜率k_CD=

lnx2-lnx1

x2-x1

，根据A、B为直线l与曲线y=e^x-1交点可得kx₁=ex1-1，kx2=ex2-1，两边取对数后代人斜率公式即可求得答案．

解答：解：设直线l的方程为y=kx（k＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞0，x₂＞0），
则C（x₁，lnx₁），D（x₂，lnx₂），
所以kx₁=ex1-1⇒x₁-1=lnkx₁，kx2=ex2-1⇒x₂-1=lnkx₂，
所以直线CD的斜率k_CD=

lnx2-lnx1

x2-x1

=

ln x2 x1

(lnkx2+1)-(lnkx1+1)

=

ln x2 x1

lnkx2-lnkx1

=

ln x2 x1

ln x2 x1

=1，
故答案为：1．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及直线斜率的求解，考查数形结合思想及学生计算能力、解决问题的能力．