Question

2．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，∠ABC=∠CAD=90°，点E在棱PB上，且PE=2EB，PA=AB=BC．
（1）求证：PD∥平面AEC；
（2）求二面角P-AC-E的余弦值．

Answer 1

分析 解法一：（1）连结BD，交AC于点M，连结EM，设PA=AB=BC=1，由△ABM∽△CDM，推出PD∥EM，然后证明PD∥平面AEC．
（2）以A为原点，分别以直线AC，AD，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，求出平面AEC的一个法向量，平面PAC的一个法向量，通过向量的数量积求解二面角P-AC-E的余弦值．
解法二：（1）以A为原点，分别以直线AB为x轴，以过点A垂直于AB的直线为y轴，以直线AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面AEC的一个法向量，利用数量积为0证明PD∥平面AEC．
（2）求出平面AEC的一个法向量，平面PAC的一个法向量，利用向量的数量积求解二面角P-AC-E的余弦值．

解答 解法一：（1）连结BD，交AC于点M，连结EM．…（1分）
设PA=AB=BC=1，∠ABC=90°，∴$AC=\sqrt{2}$，又因为∠BCA=∠BAC=45°且AB∥CD，∴∠ACD=45°，
∵∠CAD=90°，∴AC=AD，∴$CD=\sqrt{2}AC=2$．
由△ABM∽△CDM，得$\frac{BM}{MD}=\frac{AB}{CD}=\frac{1}{2}$，
又PE=2EB，∴$\frac{BM}{MD}=\frac{EB}{PE}=\frac{1}{2}$，∴PD∥EM．…（4分）
∵EM?平面AEC，PD?平面AEC，
∴PD∥平面AEC．…（5分）
（2）以A为原点，分别以直线AC，AD，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz（如图），
则$A（0，0，0），P（0，0，1），C（\sqrt{2}，0，0），B（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0）$$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BP}=（\frac{{\sqrt{2}}}{3}，-\frac{{\sqrt{2}}}{3}，\frac{1}{3}）$，$\overrightarrow{AC}=（\sqrt{2}，0，0）$，…（6分）
设$\overrightarrow n=（x，y，z）$是平面AEC的一个法向量，
则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{z=\sqrt{2}y}\\{x=0}\end{array}}\right.$，取$\overrightarrow n=（0，1，\sqrt{2}）$…（8分）
又$\overrightarrow m=（0，1，0）$是平面PAC的一个法向量，…（9分）
∴$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow m＞=\frac{\overrightarrow n•\overrightarrow m}{|\overrightarrow n|•|\overrightarrow m|}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（11分）
∴二面角P-AC-E的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（12分）


解法二：（1）以A为原点，分别以直线AB为x轴，以过点A垂直于AB的直线为y轴，以直线AP为z轴，建立空间直角坐标系（如图），设PA=AB=BC=3
则A（0，0，0），P（0，0，3），C（3，3，0），B（3，0，0），E（2，0，1），D（-3，3，0）$\overrightarrow{AC}=（3，3，0），\overrightarrow{AE}=（2，0，1）$…（2分）
设$\overrightarrow n=（x，y，z）$是平面AEC的一个法向量，则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{3x+3y=0}\\{2x+z=0}\end{array}}\right.$，取$\overrightarrow n=（1，-1，-2）$$\overrightarrow{DP}=（3，-3，3），\overrightarrow{DP}•\overrightarrow n=0$…（4分）
∵EM?平面AEC，PD?平面AEC，∴PD∥平面AEC．…（5分）
（2）由（1）知平面AEC的一个法向量为$\overrightarrow n=（1，-1，-2）$，…（6分）
设$\overrightarrow m=（a，b，c）$是平面PAC的一个法向量，
则$\overrightarrow{AC}=（3，3，0），\overrightarrow{AP}=（0，0，3）$，
$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{AP}=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{3a+3b=0}\\{c=0}\end{array}}\right.$取$\overrightarrow m=（1，-1，0）$…（9分）
∴$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow m＞=\frac{\overrightarrow n•\overrightarrow m}{|\overrightarrow n|•|\overrightarrow m|}=\frac{2}{{\sqrt{6}•\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（11分）
∴二面角P-AC-E的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（12分）
注：其他解法酌情给分．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何法与向量法证明平行，求解二面角的平面角的大小的方法，考查空间想象能力以及计算能力．