Question

（2012•广州二模）已知实数a，b满足a²+b²-4a+3=0，函数f（x）=asinx+bcosx+1的最大值记为φ（a，b），则φ（a，b）的最小值为（　　）

• A．1
• B．2
• C．

  3

  +1
• D．3

Answer 1

分析：点（a，b）在圆 （a-2）²+b² =1 上，函数f（x）=asinx+bcosx+1 的最大值为φ（a，b）=

a2+b2

+1，表示原点到点（a，b）的距离加1，求出圆上的点到原点的距离的最小值为1，从而求得φ（a，b）的最小值．

解答：解：∵实数a，b满足a²+b²-4a+3=0，∴（a-2）²+b² =1，表示以（2，0）为圆心，以1为半径的圆．
∵函数f（x）=asinx+bcosx+1 的最大值为φ（a，b）=

a2+b2

+1，它的几何意义为原点到点（a，b）的距离加1．
再由点（a，b）在圆a²+b²-4a+3=0=0上，原点到圆心（2，0）的距离等于2，
故圆上的点到原点的距离的最小值为1，
所以φ（a，b）的最小值为2，
故选B．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，求三角函数的最值，体现了转化的数学思想，属于中档题．