Question

设函数f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2+bx+c，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1
（1）求b，c的值；
（2）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（3）设已知函数g（x）=f（x）+2x，且g（x）在区间（-2，-1）内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由切点坐标及切点处导数值为0，列一方程组，解出即可；
（2）在a＞0的条件下，解不等式f′（x）＞0及f′（x）＜0即可；
（3）g（x）在区间（-2，-1）内存在单调递减区间，即g′（x）＜0在区间（-2，-1）内有解，由此可求a的范围．

解答：解：（1）f′（x）=x²-ax+b．由题意得

f(0)=1 f′(0)=0

，即

c=1 b=0

．
所以b=0，c=1．
（2）由（1）得f′（x）=x²-ax=x（x-a）（a＞0）．
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）的单调增区间为（-∞，0），（a，+∞）；单调减区间为（0，a）．
（3）g′（x）=x²-ax+2，依题意，存在x∈（-2，-1），使不等式g′（x）=x²-ax+2＜0成立．
当x∈（-2，-1）时，a＜x+

2

x

≤-2

2

，
所以满足要求的a的取值范围是a∈(-∞，-2

2

)．

点评：本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性以及分析问题解决问题的能力，（3）问的解决关键是对问题准确转化．