Question

1．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁，AB⊥AC，D为BC中点．AB₁与A₁B交于点O．
（Ⅰ）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求证：A₁B⊥平面AB₁C；
（Ⅲ）在线段B₁C上是否存在点E，使得BC⊥AE？请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：连结OD，可证OD为△A₁BC的中位线，可得OD∥A₁C，即可判定A₁C∥平面AB₁D．
（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，可证AC⊥平面AA₁B₁B，从而可得AC⊥A₁B，又A₁B⊥AB₁，AC∩AB₁=A，即可证明A₁B⊥平面AB₁C．
（Ⅲ）取B₁C中点E，连结DE，AE，可证DE⊥BC，AD⊥BC，从而证明BC⊥平面ADE，进而可证BC⊥AE，即可得解．

解答 （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）证明：连结OD．
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
因为 AB=AA₁，
所以 四边形AA₁B₁B为正方形，
所以 O为A₁B中点．
因为 D为BC中点，
所以 OD为△A₁BC的中位线，
所以 OD∥A₁C．
因为 A₁C?平面AB₁D，OD?平面AB₁D，
所以A₁C∥平面AB₁D．…（4分）
（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥AB，AC⊥AA₁，AA₁∩AB=A，
所以 AC⊥平面AA₁B₁B，
所以AC⊥A₁B．
在正方形AA₁B₁B中，A₁B⊥AB₁，AC∩AB₁=A
所以 A₁B⊥平面AB₁C．…（9分）
（Ⅲ） 存在
取B₁C中点E，连结DE，AE．
所以DE∥BB₁．
所以DE⊥BC．
因为AB=AC，D为BC中点，
所以AD⊥BC．
因为AD∩DE=D，
所以BC⊥平面ADE．
所以BC⊥AE．
所以 当E为B₁C中点时，BC⊥AE．…（14分）

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．