Question

1．如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，设AE=x，绿地面积为y．
（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
（2）当AE为何值时，绿地面积y最大？

Answer 1

分析 （1）利用y=S_ABCD-2（S_△AEH+S_△BEF），化简即得结论；
（2）通过（1）可知y=-2x²+（a+2）x的图象为开口向下、对称轴是$x=\frac{a+2}{4}$的抛物线，比较$\frac{a+2}{4}$与2的大小关系并结合函数的单调性即得结论．

解答 解：（1）依题意，${S_{△AEH}}={S_{△CFG}}=\frac{1}{2}{x^2}$，
${S_{△BEF}}={S_{△DGH}}=\frac{1}{2}（{a-x}）（{2-x}）$，
∴$y={S_{ABCD}}-2{S_{△AEH}}-2{S_{△BEF}}=2a-{x^2}-（{a-x}）（{2-x}）=-2{x^2}+（{a+2}）x$，
由题意$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ a-x＞0\\ 2-x≥0\\ a＞2\end{array}\right.$，解得：0＜x≤2，
∴y=-2x²+（a+2）x，其中0＜x≤2；
（2）∵y=-2x²+（a+2）x的图象为抛物线，其开口向下、对称轴是$x=\frac{a+2}{4}$，
∴y=-2x²+（a+2）x在上$（{0，\frac{a+2}{4}}]$递增，在$[{\frac{a+2}{4}，+∞}）$上递减，
若$\frac{a+2}{4}＜2$，即a＜6，则$x=\frac{a+2}{4}$时，y取最大值$\frac{{{{（{a+2}）}^2}}}{8}$；
若$\frac{a+2}{4}≥2$，即a≥6，则y=-2x²+（a+2）x，0＜x≤2是增函数，
故当x=2时，y取最大值2a-4；
综上所述：若a＜6，则$AE=\frac{a+2}{4}$时绿地面积取最大值$\frac{{{{（{a+2}）}^2}}}{8}$；
若a≥6，则AE=2时绿地面积取最大值2a-4．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．