Question

13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足ccosB=（2a+b）cos（π-C）．
（1）求角C的大小；
（2）若c=4，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得cosC=-$\frac{1}{2}$，由特殊角的三角函数值即可得解．
（2）利用三角形面积公式可求ab=4，由余弦定理即可解得a+B的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵ccosB=（2a+b）cos（π-C）．
∴sinCcosB=（-2sinA-sinB）cosC，
∴sin（B+C）=-2sinAcosC，
∴cosC=-$\frac{1}{2}$，
∴C=$\frac{2π}{3}$…（6分）
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\sqrt{3}$，
∴ab=4，
∴由余弦定理可得：c²=a²+b²+ab=（a+b）²-ab=16．
∴解得：a+b=2$\sqrt{5}$…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．