Question

19．已知定义域为R的函数f（x）=$\frac{-{2}^{x}+b}{{2}^{x+1}+a}$是奇函数．
（1）求a、b的值；
（2）若对任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式f（cos²2x）+f（3sin2x-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意知f（x）+f（-x）=0恒成立，且a≥0；从而可得$\frac{-{2}^{x}+b}{{2}^{x+1}+a}$+$\frac{-{2}^{-x}+b}{{2}^{-x+1}+a}$=0恒成立，化简可得2（ab-2）-（a-2b）（2^x+2^-x）=0恒成立，从而解得．
（2）由（1）知f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=$\frac{1}{2}$（-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$），从而判断函数的单调性，从而化恒成立为k＜cos²2x+3sin2x恒成立，从而化为函数的最值问题．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{-{2}^{x}+b}{{2}^{x+1}+a}$是R上的奇函数，
∴f（x）+f（-x）=0恒成立，且a≥0；
即$\frac{-{2}^{x}+b}{{2}^{x+1}+a}$+$\frac{-{2}^{-x}+b}{{2}^{-x+1}+a}$=0恒成立，
故（-2^x+b）（2^-x+1+a）+（-2^-x+b）（2^x+1+a）=0恒成立，
化简可得，
2（ab-2）-（a-2b）（2^x+2^-x）=0恒成立，
故$\left\{\begin{array}{l}{ab-2=0}\\{a-2b=0}\end{array}\right.$，
解得，a=2，b=1；
（2）由（1）知，
f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=$\frac{1}{2}$（-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$），
故f（x）在R上是减函数，
∵f（cos²2x）+f（3sin2x-k）＜0，
∴f（cos²2x）＜-f（3sin2x-k）=f（k-3sin2x），
∴cos²2x＞k-3sin2x恒成立，
即k＜cos²2x+3sin2x恒成立，
而cos²2x+3sin2x=-（sin2x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{13}{4}$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴sin2x∈[0，1]，
∴当sin2x=0时，cos²2x+3sin2x有最小值1，
故k＜1．

点评 本题考查了函数的定义域的求法及函数的奇偶性的应用，同时考查了恒成立问题转化为最值问题的方法．