Question

13．如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对于棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？

Answer 1

分析 证明四边形EFGH平行四边形，设AF：AC=n，则FC：AC=1-n，又设AB与CD所成角θ，则有∠FGH=θ（或π-θ）．S_EFGH=GF•GH•sin∠FGH=（1-n）AB•nCDsin∠FGH=n（1-n）AB•CDsin∠FGH 而AB•CDsin∠FGH定值，故n（1-n）取最大值时S_EFGH最大，即可得出结论．

解答 解：∵AB∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=GF，∴AB∥GF．
同理证EH∥AB，∴GF∥EH，同理证EF∥GH．故四边形EFGH平行四边形．
设AF：AC=n，则FC：AC=1-n，又设AB与CD所成角θ，则有∠FGH=θ（或π-θ）．
∴S_EFGH=GF•GH•sin∠FGH=（1-n）AB•nCDsin∠FGH=n（1-n）AB•CDsin∠FGH 而AB•CDsin∠FGH定值，
故n（1-n）取最大值时S_EFGH最大，当且仅当n=1-n，即n=$\frac{1}{2}$时取得大值．故当E、F、G、H分别各边点时四边形EFGH面积最大．

点评 本题考查四面体，考查面积的求解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．