Question

 已知直线l₁：x＝my与抛物线C：y²＝4x交于O (坐标原点)，A两点，直线l₂：x＝my＋m 与抛物线C交于B，D两点．

(Ⅰ) 若 | BD | ＝ 2 | OA |，求实数m的值；

(Ⅱ) 过A，B，D分别作y轴的垂线，垂足分别为A₁，B₁，D₁．记S₁，S₂分别为三角形OAA₁和四边形BB₁D₁D的面积，

求的取值范围．

Answer 1

本题主要考查直线与抛物线的位置关系等基础知识，

同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。

(Ⅰ) 解: 设B(x₁，y₁)， D(x₂，y₂)，

由 得

，

由Δ，得或，

且y₁＋y₂＝4m， y₁y₂＝－4m．

又由 得

y²－4my＝0，

所以y＝0或4m．

故A (4m²，4m)．

由 | BD |＝2 | OA |，得

(1＋m²)(y₁－y₂)²＝4 (16m⁴＋16m²)，

而 (y₁－y₂)²＝16m²＋16m，

故m＝．        ………………………… 6分

(Ⅱ) 解: 由(Ⅰ)得

x₁＋x₂＝m(y₁＋y₂)＋2m＝4m²＋2m．

 所以＝

＝

＝

＝．

令＝t，

因为或，

所以－1＜t＜0或t＞0．

故 ＝，

所以 0＜＜1 或 ＞1，工资 即 0＜＜1 或 ＞1．

所以，的取值范围是(0，1)∪(1，＋∞)．　　………………………15分