Question

已知函数f(x)=

1 ( 当x为有理数时) 0(当x为无理数时)

，给出下列关于f（x）的性质：
①f（x）是周期函数，3是它的一个周期；②f（x）是偶函数；③方程f（x）=cosx有有理根；④方程f[f（x）]=f（x）与方程f（x）=1的解集相同
正确的个数为（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

分析：本题综合的考查了函数的性质，我们可以根据周期函数、函数奇偶性结合方程思想，特殊值代入验证法，对四个结论逐一进行判断，最后得到结论．

解答：解：当T=3，则当x为有有理数时，x+3也为有理数，则f（x+3）=f（x）；
则当x为有无理数时，x+3也为无理数，则f（x+3）=f（x）；
故T为函数的周期，即f（x）是周期函数，3是它的一个周期，故①正确；
若x为有理数，则-x也为有理数，则f（-x）=f（x）；
若x为无理数，则-x也为无理数，则f（-x）=f（x）；
故f（x）是偶函数，故②正确
存在有理数0，使得f（x）=cosx=0成立
故方程f（x）=cosx有有理根，即③正确；
方程f[f（x）]=f（x）可等价变形为f（x）=1
故方程f[f（x）]=f（x）与方程f（x）=1的解集相同，故④正确
故选D

点评：要判断一个函数的奇偶性，我们需要经过两个步骤：①判断函数的定义域是否关于原点对称；②判断f（-x）与f（x）的值是相等还是相反．反之，当已知函数为奇函数或偶函数时，要注意此时函数的定义域一定关于原点对称，且f（-x）与f（x）的值是相反或相等．要判断一一个函数是否为周期函数，则要判断f（x+T）=f（X）是否恒成立．