Question

若函数f（x）=

1-x

ax

+?nx在[1，+∞）上为增函数．
（Ⅰ）求正实数a的取值范围．
（Ⅱ）若a=1，求征：

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜?nn＜n+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n-1

（ n∈N*且n≥2 ）

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函数f（x）的导数，因为函数f（x）=

1-x

ax

+?nx在[1，+∞）上为增函数，所以在[1，+∞）上导数大于等于0恒成立，就可根据x的范围求出a的范围．
（Ⅱ）因为f（x）=

1-x

ax

+?nx在[1，+∞）上为增函数，所以n≥2时：f（

n

n-1

）＞f（1），因为f（1）=0，所以，n≥2时：f（

n

n-1

）＞0，就可得到

1

n

＜ln

n

n-1

，进而证明

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

＜ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

=1nn成立，再利用导数判断y=lnx-x在[1，+∞）上为减函数，就可得到n≥2时，ln

n

n-1

＜

n

n-1

=1+

n

n-1

（n≥2），
进而证明lnn＜n+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

．

解答：解：（Ⅰ）由已知：f'（x）=

ax-1

ax2

(a＞0)
依题意得：

ax-1

ax2

≥0对x∈[1，+∞）恒成立
∴ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立
∴a-1≥0即：a≥1
（Ⅱ）∵a=1
∴f（x）=

1-x

x

+lnx，
∵f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴n≥2时：f（

n

n-1

）=

1- n n-1

n n-1

+ln

n

n-1

=ln

n

n-1

-

1

n

＞f(1)=0
即：

1

n

＜ln

n

n-1

∴

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

＜ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

=lnn
设g（x）=lnx-x  x∈[1，+∞），
则g′(x)=

1

x

-1≤0对x∈[1，+∞）恒成立，
∴g（x）在[1+∞）为减函数，∵

n

n-1

＞1
∴n≥2时：g（

n

n-1

）=ln

n

n-1

-

n

n-1

＜g（1）=-1＜0
即：ln

n

n-1

＜

n

n-1

=1+

1

n-1

（n≥2）
∴lnn=ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

＜(1+

1

n-1

)+(1+

1

n-2

)+…+(1+

1

1

)=n+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

综上所证：

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜lnn＜n+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

（n∈N*且≥2）成立．

点评：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，以及借助函数的单调性证明不等式成立，属于导数的应用．