Question

14．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，E为SC的中点，F为AC上一点，且AB=2，SA=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求证：EF⊥BD；
（Ⅱ）若EF∥平面SBD，试确定F点的位置；
（Ⅲ）求二面角B-SC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A为原点，AB、AD、AS所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明EF⊥BD．
（Ⅱ）设AC与BD的交点为G，则G（1，1，0），连接SG，求出$\overrightarrow{EF}=（a-1{，_{\;}}a-1{，_{\;}}-\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{SG}=（1{，_{\;}}1{，_{\;}}-2\sqrt{2}）$，若使EF∥平面SBD，只需EF∥SG，由此能求出当F点坐标为$（\frac{3}{2}{，_{\;}}\frac{3}{2}{，_{\;}}0）$时，EF∥平面SBD．
（Ⅲ）求出平面SBC的一个法向量和平面SCD的一个法向量，得用向量法能求出二面角B-SC-D的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）以A为原点，AB、AD、AS所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系．
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
$S（0{，_{\;}}0{，_{\;}}2\sqrt{2}）$，$E（1{，_{\;}}1{，_{\;}}\sqrt{2}）$，F（a，a，0），其中$0＜a＜2\sqrt{2}$．…（2 分）
∵$\overrightarrow{EF}=（a-1{，_{\;}}a-1{，_{\;}}-\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{BD}=（-2{，_{\;}}2{，_{\;}}0）$，
∴$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{BD}=-2（a-1）+2（a-1）+0×（-\sqrt{2}）=0$．
∴EF⊥BD．…（5 分）
解：（Ⅱ）设AC与BD的交点为G，则G（1，1，0），连接SG，
$\overrightarrow{EF}=（a-1{，_{\;}}a-1{，_{\;}}-\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{SG}=（1{，_{\;}}1{，_{\;}}-2\sqrt{2}）$，
若使EF∥平面SBD，只需EF∥SG，
只需$\frac{a-1}{1}=\frac{a-1}{1}=\frac{{-\sqrt{2}}}{{-2\sqrt{2}}}$，即$a=\frac{3}{2}$．…（7 分）
故当F点坐标为$（\frac{3}{2}{，_{\;}}\frac{3}{2}{，_{\;}}0）$时，EF∥平面SBD．…（8 分）
（Ⅲ）设平面SBC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
而$\overrightarrow{SC}=（2{，_{\;}}2{，_{\;}}-2\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{BC}=（0{，_{\;}}2{，_{\;}}0）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{2x+2y-2\sqrt{2}z=0}\\{2y=0{{，}_{\;}}}\end{array}}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=$（\sqrt{2}{，_{\;}}0{，_{\;}}1）$．…（10分）
设平面SCD的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁）．
而$\overrightarrow{SD}$=（0，2，-2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{CD}$=（-2，0，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{SD}=2{y}_{1}-2\sqrt{2}{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=-2{x}_{1}=0}\end{array}\right.$，取z₁=1，得$\overrightarrow{m}$=$（0{，_{\;}}\sqrt{2}{，_{\;}}1）$．…（11分）
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{1}{3}$，
由图形知所求二面角是钝角，
故二面角B-SC-D的余弦值为-$\frac{1}{3}$．…（13分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查使线面平行的点的位置的确定，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．