Question

已知实数a＜b＜c，设方程

1

x-a

+

1

x-b

+

1

x-c

=0的两个实根分别为x₁，x₂（x₁＜x₂），则下列关系中恒成立的是（　　）

A．a＜x₁＜b＜x₂＜c

B．x₁＜a＜b＜x₂＜c

C．a＜x₁＜x₂＜b＜c

D．a＜x₁＜b＜c＜x₂

Answer 1

分析：将原分式方程变形为整式方程（x-b）（x-c）+（x-a）（x-c）+（x-a） （x-b）=0，应用零点存在性定理考察函数f（x）=（x-b）（x-c）+（x-a）（x-c）+（x-a） （x-b）零点情况，作出判断．

解答：解：方程

1

x-a

+

1

x-b

+

1

x-c

=0即为

(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)(x-a)(x-b)

(x-a)(x-b)(x-c)

=0，
∴（x-b）（x-c）+（x-a）（x-c）+（x-a） （x-b）=0，
令f（x）=（x-b）（x-c）+（x-a）（x-c）+（x-a） （x-b），
∵a＜b＜c，则
f（a）=（a-b）（a-c）＞0，
f（b）=（b-a）（b-c）＜0，
f（c）=（c-a）（c-b）＞0，
根据零点存在性定理得出在（a，b），（b，c）上函数f（x）各有零点，所以a＜x₁＜b＜x₂＜c．
故选：A．

点评：本题考查函数与方程知识，考察数形结合的思想方法，转化思想．