Question

已知异面直线a，b所成的角为70°，则过空间任意一点M可作与a，b所成的角都是55°的直线有多少条（ ）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条

Answer 1

【答案】分析：在空间取一点M，经过点M分别作a∥a'，b∥b'，设直线a'、b'确定平面α．由异面直线所成角的定义，得a'、b'所成锐角等于70°，经过M的直线MP的射影MQ在a'、b'所成锐角的平分线上时，存在两条直线与a'，b'所成的角都是55°，当MP的射影MQ在a'、b'所成钝角的平分线上时，存在1条直线与a'，b'所成的角都是55°，由此可得本题答案．
解答：解：在空间取一点M，经过点M分别作a∥a'，b∥b'，
设直线a'、b'确定平面α，
当直线MP满足它的射影MQ在a'、b'所成角的平分线上时，
MP与a'所成的角等于MP与b'所成的角
因为直线a，b所成的角为70°，得a'、b'所成锐角等于70°
所以当MP的射影MQ在a'、b'所成锐角的平分线上时，
MP与a'、b'所成角的范围是[35°，90°）．
这种情况下，过点M有两条直线与a'，b'所成的角都是55°
当MP的射影MQ在a'、b'所成钝角的平分线上时，MP与a'、b'所成角的范围是[55°，90°）．
这种情况下，过点M有且只有一条直线（即MP?α时）与a'，b'所成的角都是55°
综上所述，过空间任意一点M可作与a，b所成的角都是55°的直线有3条
故选：C
点评：本题给出两条直线所成角为70°，求过空间任意一点M可作与a，b所成的角都是55°的直线的条数．着重考查了空间两条异面直线所成角及其求法等知识，属于基础题．