Question

8．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点C在平面A₁B₁C₁内的射影点为A₁B₁的中点O，且AC：BC：AB：AA₁=1：1：$\sqrt{2}$：2．
（1）求证：AB⊥平面OCC₁；
（2）求二面角A-CC₁-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）如图所示，由于点C在平面A₁B₁C₁内的射影点为A₁B₁的中点O，A₁C₁=C₁B₁，可得CO⊥A₁B₁，C₁O⊥A₁B₁．于是A₁B₁⊥平面OCC₁；又A₁B₁∥AB，即可证明．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AC=2．由AC：BC：AB：AA₁=1：1：$\sqrt{2}$：2．可得：A₁（0，-$\sqrt{2}$，0），C（0，0，$\sqrt{14}$），C₁（-$\sqrt{2}$，0，0），B₁（0，$\sqrt{2}$，0）．利用线面垂直的性质可得：平面B₁C₁CB的法向量为$\overrightarrow{m}$，平面B₁C₁CB的法向量$\overrightarrow{n}$．利用向量夹角公式可得$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$，即可得出．

解答 （1）证明：如图所示，
∵点C在平面A₁B₁C₁内的射影点为A₁B₁的中点O，A₁C₁=C₁B₁，
∴CO⊥A₁B₁，C₁O⊥A₁B₁．
又CO∩C₁O=O，
∴A₁B₁⊥平面OCC₁；
∵A₁B₁∥AB，
∴AB⊥平面OCC₁．
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设AC=2．由AC：BC：AB：AA₁=1：1：$\sqrt{2}$：2．
可得：A₁（0，-$\sqrt{2}$，0），C（0，0，$\sqrt{14}$），C₁（-$\sqrt{2}$，0，0），B₁（0，$\sqrt{2}$，0）．
则$\overrightarrow{{C}_{1}C}$=$（\sqrt{2}，0，\sqrt{14}）$，$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=$（-\sqrt{2}，\sqrt{2}，0）$，$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=$（-\sqrt{2}，-\sqrt{2}，0）$．
设平面A₁C₁CA的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C{C}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x+\sqrt{14}z=0}\\{-\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=$（7，7，-\sqrt{7}）$．
同理可得：平面B₁C₁CB的法向量$\overrightarrow{n}$=$（7，-7，-\sqrt{7}）$．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{49-49-7}{\sqrt{49+49+7}×\sqrt{49+49+7}}$=-$\frac{1}{15}$．
由图中可以看出：二面角A-CC₁-B的平面角为钝角．
∴二面角A-CC₁-B的余弦值为$-\frac{1}{15}$．

点评 本题考查了空间线面位置关系、空间角、勾股定理的逆定理，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．