Question

已知抛物线C：x²=ay（a＞0），斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，交抛物线于A，B两点，且抛物线上一点M(2

2

 ， m) (m＞1)到点F的距离是3．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若k＞0，且

AF

=3

FB

，求k的值．
（Ⅲ）过A，B两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为点Q，求证：

AB

 • 

FQ

=0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用点M(2

2

 ，m)在抛物线C：x²=ay（a＞0）上，点M( 2

2

，m)到抛物线的焦点F的距离是3，根据定义，建立方程，从而可求a的值；
（Ⅱ）设直线l的方程与抛物线方程联立，利用

AF

=3

FB

，建立方程，结合k＞0，可求k的值；
（Ⅲ）设直线l的方程与抛物线方程联立，确定

AB

的坐标，确定切线QA、QB的方程，求出点Q的坐标，从而可得

FQ

的坐标，利用数量积公式可得结论．

解答：（Ⅰ）解：因为点M(2

2

 ，m)在抛物线C：x²=ay（a＞0）上，所以am=8．
因为点M( 2

2

，m)到抛物线的焦点F的距离是3，所以点M( 2

2

，m)到抛物线的准线y=-

a

4

的距离是3，
所以m+

a

4

=3．
所以

8

a

+

a

4

=3．
所以a=4，或a=8．…..（3分）
因为m＞1，所以a=4…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知x²=4y．
因为直线l经过点T（0，1），

AF

=3

FB

，所以直线l的斜率一定存在，
设直线l的斜率是k，所以直线l的方程是y=kx+1，即kx-y+1=0．
联立方程组

kx-y+1=0  x2=4y

消去y，得x²-4kx-4=0．…..（5分）
所以x1，2=

4k± 16k2+16

2

=2k±2

k2+1

．
因为

AF

=3

FB

，且k＞0，所以2k+2

k2+1

=3•(2

k2+1

-2k)．…..（7分）
所以

k2+1

=2k，所以k2=

1

3

．
因为k＞0，所以k=

3

3

所以k的值是

3

3

．…..（8分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，方程组

kx-y+1=0  x2=4y

得x²-4kx-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4

AB

=(x2-x1，y2-y1)=(x2-x1，k(x2-x1))．…..（9分）
由x²=4y，所以y=

1

4

x2，所以y′=

1

2

x．
所以切线QA的方程是y-y1=

1

2

x1(x-x1)，切线QB的方程是y-y2=

1

2

x2(x-x2)．…..（11分）
所以点Q的坐标是（

x1+x2

2

，

x1x2

4

），即（2k，-1），所以

FQ

=(2k，-2)．
因为

AB

=(x2-x1，k(x2-x1))
所以

AB

•

FQ

=0．…..（14分）

点评：本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的切线方程，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．