Question

3．五位师傅和五名徒弟站一排．
（1）五名徒弟必须排在一起共有多少种排法？
（2）五名徒弟不能相邻共有多少种排法？
（3）师傅和徒弟相间共有多少种排法？

Answer 1

分析 （1）采用捆绑法，师傅先排好，徒弟放在一起排好，再把徒弟当作一个整体插入到师傅的6个空里．
（2）采用插空法，先将五位老师全排列，再将五名学生排在五位老师产生的六个空位上．
（3）采用插空法，先将五位师傅排列，再将五名徒弟放在五位师傅产生的6个空位中前五位或者后五位上．

解答 解：（1）师傅先排好，有${A}_{5}^{5}$种排法；徒弟放在一起排好，有${A}_{5}^{5}$种排法，再把徒弟当作一个整体插入到师傅的6个空里，一共有${A}_{5}^{5}$×${A}_{5}^{5}$×6=86400种排法．
（2）先将五位老师全排列${A}_{5}^{5}$种排法，再将五名学生排在五位老师产生的六个空位上有${A}_{6}^{5}$种排法，故共${A}_{5}^{5}$×${A}_{6}^{5}$=86400种排法．
（3）先将五位师傅排列有${A}_{5}^{5}$种排法，再将五名徒弟放在五位师傅产生的6个空位中前五位或者后五位上有${2A}_{5}^{5}$种排法，所以由乘法原理共有${2A}_{5}^{5}$×${A}_{5}^{5}$=28800种排法．

点评 本体考察排列组合问题，一定要注意是否有顺序．并且要掌握排队问题的一般方法，比如插空法，捆绑法等等．