Question

如图，E、F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将△AEF折起到△A′EF的位置，连接A′B、A′C．
（Ⅰ）求证：平面A′EC⊥平面A′BC；
（Ⅱ）求证：AA′⊥平面A′BC；
（Ⅲ）过EF作一平面EFPQ同时与直线AA′、BC平行设交A′B、A′C分别于P、Q两点，试指出P、Q的位置，并求截面EFPQ分四面体A′ABC的两部分的体积比：V_A'AEFPQ：V_PQEFBC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证平面A′EC⊥平面A′BC，只需证明平面A′BC内的直线BC垂直平面A′EC内的两条相交直线A′E、AC即可证明BC⊥平面A′EC；
（Ⅱ）要证AA′⊥平面A′BC，只需证明直线AA′垂直平面A′BC内的两条相交直线BC、A′C即可；
（Ⅲ）取AB、A′C的中点P、Q，说明平面EFPQ同时与AA′、BC平行，分别求出截面EFPQ分四面体A′ABC的两部分的体积比：V_A'AEFPQ：V_PQEFBC．

解答：解：（Ⅰ）∵AC是直角△ABC的直角边E、F分别是AC、AB中点
∴EF∥BC∵BC⊥AC∴EF⊥AC∵EF⊥A′E
∴BC⊥A′E∵A′E∩AC=E
A′E、AC?平面A'EC
∴BC⊥平面A′EC又∵BC?平面A′BC
∴平面A′EC⊥平面A′BC （5分）；

（Ⅱ）∵BC⊥平面A′ECAA′?平面A′
EC∴BC⊥AA′
又∵EA=EC=EA′∴∠AA′C=90°
∴AA′⊥C∵BC∩A′C=C，BC、A′C?平面A′BC
∴AA′⊥平面A′BC10′

（Ⅲ）取AB、A′C的中点P、Q，∴PQ₌^∥

1

2

BC，∵EF₌^∥

1

2

BC
∴EF₌^∥PQ∴E、F、P、Q四点共面，易知平面EFPQ
同时与AA′、BC平行．取BC的中点R连PR、FR
设S_△BRF=S，P到平面ABC的距离为h，
∴VBFEQC=

1

3

Sh+Sh=

4

3

ShVA′-ABC=

8sh

3

∴V_A'AEFPQ：V_PQEFBC=1：1． （15分）

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．