Question

（2013•奉贤区一模）若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ-伴随函数”．有下列关于“λ-伴随函数”的结论：
①f（x）=0是常数函数中唯一一个“λ-伴随函数”；
②f（x）=x不是“λ-伴随函数”；
③f（x）=x²是“λ-伴随函数”；
④“

1

2

-伴随函数”至少有一个零点．
其中正确结论的个数是（　　）个．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①、设f（x）=C则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，可判断①；
②、假设f（x）=x是一个“λ-同伴函数”，则x+λ+λx=0，则有λ+1=λ=0，解方程可判断②；
③、假设f（x）=x²是一个“λ-同伴函数”，则（x+λ）²+λx²=0，则有λ+1=2λ=λ²=0，解方程可判断③；
④、令x=0，可得f（

1

2

）=-

1

2

f（0）．若f（0）=0，f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（

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2

）•f（0）=-

1

2

（f（0））2＜0．可得f（x）在（0，

1

2

）上必有实根，可判断④

解答：解：①、设f（x）=C是一个“λ-同伴函数”，则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ-同伴函数”，故①错误
②、假设f（x）=x是一个“λ-同伴函数”，则x+λ+λx=0对任意实数x成立，则有λ+1=λ=0，而此式无解，所以f（x）=x不是“λ-伴随函数”，故②正确；
③、假设f（x）=x²是一个“λ-同伴函数”，则（x+λ）²+λx²=0，
即（1+λ）x²+2λx+λ²=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式无解，所以f（x）=x²不是一个“λ-同伴函数”．故③错误
④、令x=0，得f（

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2

）+

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2

f（0）=0．所以f（

1

2

）=-

1

2

f（0）．
若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（

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2

）•f（0）=-

1

2

（f（0））²＜0．
又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，

1

2

）上必有实数根．
因此任意的“

1

2

-同伴函数”必有根，即任意“

1

2

-同伴函数”至少有一个零点．故④正确．
故答案为：B．

点评：本题考查的知识点是函数的概念及构成要素，函数的零点，正确理解f（x）是λ-同伴函数的定义，是解答本题的关键．