Question

3．设函数f（x）=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{x}$（x＞0），数列{a_n}满足a₁=1，a_n=f（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$），n∈N^*，且n≥2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对n∈N^*，设S_n=$\frac{1}{a_1a_2}$+$\frac{1}{a_2a_3}$+$\frac{1}{a_3a_4}$+…+$\frac{1}{a_na_{n+1}}$，若S_n≥3t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简可得a_n-a_n-1=$\frac{2}{3}$，n∈N^*，n≥2，从而求通项公式；
（2）化简$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{9}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）；从而求得S_n=$\frac{3n}{2n+3}$，n∈N^*，从而化为t$≤\frac{n}{2n+3}$恒成立，从而化为最值问题即可．

解答 解：（1）∵a_n=f（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$）=$\frac{2}{3}$+a_n-1，
∴a_n-a_n-1=$\frac{2}{3}$，n∈N^*，n≥2；
∴{a_n}是等差数列，又∵a₁=1，
∴a_n=1+（n-1）×$\frac{2}{3}$=$\frac{2n+1}{3}$，n∈N^*．
（2）∵a_n=$\frac{2n+1}{3}$，∴a_n+1=$\frac{2n+3}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{9}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）；
∴S_n=$\frac{1}{a1a2}$+$\frac{1}{a2a3}$+$\frac{1}{a3a4}$+…+$\frac{1}{anan+1}$
=$\frac{9}{2}$[（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）]
=$\frac{3n}{2n+3}$，n∈N^*．
∵S_n≥3t，
∴t$≤\frac{n}{2n+3}$，又∵{$\frac{n}{2n+3}$}递增，
∴当n=1时，（$\frac{n}{2n+3}$）min=$\frac{1}{5}$，
∴t≤$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了函数与数列的综合应用，等差数列的通项公式，裂项求和法及恒成立问题，关键在于裂项求和法的应用．