Question

把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第i行共有2^i-1个正整数，设a_ij（i，j∈N*）表示位于这个数表中从上往下数第i行，从左往右第j个数．
（Ⅰ）若a_ij=2013，求i和j的值；
（Ⅱ）记A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn（n∈N*），求证：当n≥4时，A_n＞n²+C

3 n

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由数表中前i-1行共有1+2¹+2²+…+2^i-2=2^i-1-1个数，可知第i行的第一个数是2^i-1，因此aij=2i-1+j-1，由于2¹⁰＜2013＜2¹¹，a_ij=2013，于是i-1=10，即可得出i，进而得到j．
（Ⅱ）利用（I）aij=2i-1+j-1，可得ann=2n-1+n-1(n∈N*)，利用等差数列和等比数列的前n项和公式可得A_n，再利用二项式定理可证明．

解答：解：（Ⅰ）∵数表中前i-1行共有1+2¹+2²+…+2^i-2=2^i-1-1个数，
则第i行的第一个数是2^i-1，∴aij=2i-1+j-1，
∵2¹⁰＜2013＜2¹¹，a_ij=2013，则i-1=10，即i=11．
令2¹⁰+j-1=2013，则j=2013-2¹⁰+1=990．
（Ⅱ）∵aij=2i-1+j-1，∴ann=2n-1+n-1(n∈N*)，
∴An=(1+2+22+…+2n-1)+[0+1+2+…+(n-1)]=2n-1+

n(n-1)

2

，
当n≥4时，An=(1+1)n-1+

n(n-1)

2

＞

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+

C

3 n

-1+

n(n-1)

2

=n2+

C

3 n

．
∴当n≥4时，A_n＞n²+C

3 n

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的前n项和公式、二项式定理等基础知识与基本技能方法，属于难题．