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2.已知x=1是函数f(x)=ax3-bx-lnx(a>0,b∈R)的一个极值点,则lna与b-1的大小关系是(  )
A.lna>b-1B.lna<b-1C.lna=b-1D.以上都不对

分析 求出f(x)的导数得到b=3a-1,作差令g(a)=lna-(b-1)=lna-3a+2,(a>0),根据函数的得到求出g(a)的最大值小于0,从而判断出lna和b-1的大小即可.

解答 解:f′(x)=3ax2-b-$\frac{1}{x}$,
∵x=1是f(x)的极值点,
∴f′(1)=3a-b-1=0,
即3a-1=b,
令g(a)=lna-(b-1)=lna-3a+2,(a>0),
则g′(a)=$\frac{1}{a}$-3=$\frac{1-3a}{a}$,
令g′(a)>0,解得:0<a<$\frac{1}{3}$,
令g′(a)<0,解得:a>$\frac{1}{3}$,
故g(a)在(0,$\frac{1}{3}$)递增,在($\frac{1}{3}$,+∞)递减,
故g(a)max=g($\frac{1}{3}$)=1-ln3<0,
故lna<b-1,
故选:B.

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题,考查导数的应用,是一道中档题.

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