Question

1．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为：$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=10，若点P为曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2sinα+2}\end{array}\right.$（α为参数）上的动点，其中参数α∈[0，2π]．
（1）试写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；
（2）求点P到直线l距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用两角差的正弦公式，将极坐标方程展开，进而可得直线的一般方程；利用平方法消去参数，可得曲线C的标准方程；
（2）求出圆心到直线的距离，加上半径，可得答案．

解答 解：（1）因为$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=10，所以ρsinθ-ρcosθ=10，
所以直线l的直角坐标方程为x-y+10=0．…（3分）
曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2sinα+2}\end{array}\right.$且参数α∈[0，2π]
消去参数π可知曲线C的普通方程为x²+（y-2）²=4．…（5分）
（2）由（1）点P的轨迹方程为x²+（y-2）²=4，圆心为（0，2），半径为2．
则圆心到直线的距离d=4$\sqrt{2}$，…（3分）
所以点P到直线l距离的最大值4$\sqrt{2}$+2．…（10分）

点评 本题考查的知识点是简单曲线方程的极坐标方程，参数方程化为普通方程，直线圆的位置关系．