Question

5．在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为AC与BD的交点，若$\overrightarrow{A{{\;}_{1}B}_{1}}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{{A}_{1}A}$=$\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{{B_1}M}$=$\overrightarrow{c}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$．（用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$表示）

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，结合图形，利用向量的加法几何意义表示出$\overrightarrow{{B}_{1}B}$、$\overrightarrow{BM}$，从而得出$\overrightarrow{{B_1}M}$．

解答 解：如图所示，
平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
M为AC与BD的交点，$\overrightarrow{A{{\;}_{1}B}_{1}}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{{A}_{1}A}$=$\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{{B}_{1}B}$=$\overrightarrow{{A}_{1}A}$=$\overrightarrow{c}$，
$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{{{B}_{1}A}_{1}}$+$\overrightarrow{{{B}_{1}C}_{1}}$）=$\frac{1}{2}$（-$\overrightarrow{{{A}_{1}B}_{1}}$+$\overrightarrow{{{A}_{1}D}_{1}}$）=$\frac{1}{2}$（-$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）；
∴$\overrightarrow{{B_1}M}$=$\overrightarrow{{B}_{1}B}$+$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{c}$+$\frac{1}{2}$（-$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{c}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$．
故答案为：$\overrightarrow c+\frac{1}{2}\overrightarrow b-\frac{1}{2}\overrightarrow a$．

点评 本题考查了空间向量的加法运算的几何意义，也考查了空间想象能力，是基础题目．