已知函数.
⑴求函数的单调区间;
⑵若函数有3个不同零点,求实数的取值范围;
⑶若在的定义域内存在,使得不等式能成立,求实数 的最大值。
解:⑴因为函数的定义域为
, ………1分
令得 ………………2分
当时,,
当时,
所以的单调递增区间是,单调递减区间是
……………5分
⑵函数有3个不同零点等价于函数的图象与直线有三个不同交点 ……………6分
由⑴知,在内单调递增,在内单调递减,在上单调递增,且当或时,
所以的极大值为,极小值为
…………7分
因为
, ……………8分
函数的草图如下:
所以当且仅当时,在的三个单调区间中,直线和的图象各有一个交点
因此,的取值范围为. ……………10分
⑶设(x>-1)
……………11分
令
当
则当时,有最大值 …………12分
若在区间内存在,而使得不等式能成立,
则 …………13分
,的最大值为 ……………14分
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π |
2 |
2π |
3 |
π |
6 |
7π |
3 |
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