考点:余弦定理
专题:解三角形
分析:由cos∠BAD与cos∠CAD的值求出sin∠BAD与sin∠CAD的值,利用两角和与差的余弦函数公式求出cos∠BAC的值,确定出∠BAC的度数,由D为BC的中点,利用等底同高的两个三角形面积相等得到三角形ABD与三角形ACD面积相等,利用三角形面积公式列出关系式,整理得到AC=
AB,在三角形ABC中,利用余弦定理列出关系式,整理得到AB=BC,即三角形ABC为等腰直角三角形,进而求出AC与AD的长,即可求出所求之比.
解答:
解:∵cos∠BAD=
,cos∠CAD=
,
∴sin∠BAD=
,sin∠CAD=
,
∴cos∠BAC=cos(∠BAD+∠CAD)=cos∠BADcos∠CAD-sin∠BADsin∠CAD=
×
-
×
=
,
∴∠BAC=45°,
由D为BC的中点,得到S
△ABD=S
△ACD,即
AB•ADsin∠BAD=
AC•ADsin∠CAD,
整理得:AC=
AB,
在△ABC中,利用余弦定理得:BC
2=AB
2+AC
2-2AB•ACcos∠BAC=AB
2+2AB
2-2AB
2,即BC=AB,
∴△ABC为等腰直角三角形,即∠ABC=90°,
设AB=BC=2,则有BD=CD=1,AD=
,AC=2
,
则
=
=
,
故答案为:
点评:此题考查了余弦定理,三角形面积公式,同角三角函数间的基本关系,以及两角和与差的余弦函数公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.