Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c均为实常数，且a≠0），满足条件f（0）=f（2）=0，且方程f（x）=2x有两个相等的实数根．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）试确定一个区间P，使得f（x）在P内单调递减且不等式f（x）≥0在P内恒成立；
（3）是否存在这样的实数m、n，满足m＜n，使得f（x）在区间[m，n]内的取值范围恰好是[4m，4n]？如果存在，试求出m、n的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由f（2）=f（0）=0可知，4a+2b+c=0，c=0，
又f（x）=2x有两个相等实根，故（b-2）²-4ac=0，
可解得a=-1，b=2，c=0，
故f（x）的解析式为：f（x）=-x²+2x；
（2）由（1）可知f（x）=-x²+2x，
其图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=1，
故可取区间P=[1，2]，满足题意；
（3）假设存在实数m、n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和42m，4n]，
由（1）可知f（x）=-x²+2x=-（x-1）2+1≤1，故4n≤1，故m＜n≤，
又函数f（x）的对称轴为x=1，抛物线的开口向下，
故f（x）在区间[m，n]单调递增，
则有f（m）=4m，f（n）=4n，即m，n为方程-x²+2x=4x的实根，
解得x=0或x=-2，结合m＜n可得m=-2，n=0，
故存在m=-2，n=0符合题意．
分析：（1）由题意可得4a+2b+c=0，c=0，（b-2）²-4ac=0，联合解之即可；
（2）分析函数的图象，可知区间P=[1，2]，满足题意；（3）假设存在实数m、n（m＜n）满足题意，配方可得m＜n≤，进而可得函数在区间[m，n]单调递增，则有f（m）=4m，f（n）=4n，解之即可．
点评：本题考查二次函数的性质，涉及函数的单调性和存在性问题，属中档题．