Question

如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10．
（1）设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；
（2）在△ABO内是否存在一点M，使FM⊥平面BOE，若存在，请找出点M，并求FM的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）取PE中点H，连接FH、GH，利用三角形中位线定理，结合平面与平面平行的判定定理，证出平面BEO∥平面FGH，进而可得FG∥平面BOE；
（2）等腰Rt△ABC证出BO⊥AC，从而得到BO⊥平面APC，所以BO⊥PQ，过P在平面APC内作PQ⊥EO，交AO于Q，连接BQ，取BQ中点M，连接FM．可得PQ⊥平面BEO且FM∥PQ，得FM⊥平面BEO，所以BQ中点即为满足条件的点M．再利用解三角形的知识，可算出PQ=

15

2

，得到FM=

15

4

．

解答：解：（1）取PE中点H，连接FH、GH，
∵F，H分别为PB，PE中点，∴△PBE中，FH∥BE，
∵FH?平面BEO，BE?平面BEO，∴FH∥平面BEO
同理，可得HG∥平面BEO
∵FH∩HG=H，FH、HG?平面FGH
∴平面BEO∥平面FGH，
∵FG?平面FGH，∴FG∥平面BEO．   …（5分）
（2）∵△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且O为AC中点，∴BO⊥AC，
又∵平面PAC⊥平面ABC，BO?平面ABC，平面ABC∩平面APC=AC，
∴BO⊥平面APC．结合PQ?平面APC，得BO⊥PQ
过P在平面APC内作PQ⊥EO，交AO于Q，连接BQ，取BQ中点M，连接FM，
∵BO∩EO=O，BO、EO?平面BEO，∴PQ⊥平面BEO，
∵△PBQ中，点F、M分别为PB、QB的中点，
∴FM∥PQ，且FM=

1

2

PQ
结合PQ⊥平面BEO，得FM⊥平面BOE，即BQ中点M即为所求．
Rt△PCQ中，cos∠PCQ=

162+102-102

2×16×10

=

4

5

，得CQ=

5

4

PC=

25

2

∴PQ=

CQ2-PQ2

=

15

2

，可得FM=

1

2

PQ=

15

4

因此，在平面ABC内，存在△ABO的中线BQ上的点M，满足M为BQ的中点时，FM⊥平面BOE，此时FM=

15

4

…（12分）

点评：本题给出特殊三棱锥，求证线面平行并探索了线面垂直，着重考查了直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，以及线面平行的判定等知识，属于中档题．