Question

（2012•厦门模拟）已知函数f(x)=

1

3

a

x

3

+

1

2

a

x

2

-bx+b-1在x=1处的切线与x轴平行，若函数f（x）的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是

3

16

＜a＜

6

5

．

Answer 1

分析：求函数的极值，要使图象经过四个象限只要两极值符号不同即可．

解答：解：求导函数可得f′（x）=ax²+ax-b
∵函数f(x)=

1

3

a

x

3

+

1

2

a

x

2

-bx+b-1在x=1处的切线与x轴平行
∴f′（1）=0
∴2a-b=0
∴b=2a
∴f′（x）=ax²+ax-2a=a（x+2）（x-1），f(x)=

1

3

a

x

3

+

1

2

a

x

2

-2ax+2a-1
令f′（x）=a（x+2）（x-1）=0得x=-2或x=1
x∈（-∞，-2）时f′（x）的符号与x∈（-2，1）时f′（x）的符号相反，x∈（-2，1）时f′（x）的符号与x∈（1，+∞）时f′（x）的符号相反
∴函数在-2与1处取极值
∵图象经过四个象限
∴f（-2）•f（1）＜0，即（

16a

3

-1）（

5a

6

-1）＜0
∴

3

16

＜a＜

6

5

故答案为：

3

16

＜a＜

6

5

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的极值，利用两极值符号不同是关键．