已知定义在R上的奇函数f(x)=x3+bx2+cx+d在x=±1处取得极值.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)试证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4成立;
(Ⅲ)若过点P(m,n),(m、n∈R,且|m|<2)可作曲线y=f(x)的三条切线,试求点P对应平面区域的面积.
【答案】
分析:(I)先通过函数f(x)在R上是奇函数,得出f(0)=0确定d的值,再通过f(x)在x=±1处取得极值得出f′(1)=f′(-1)=0,进而求出a,b的值
(II)导函数在区间(-1,1)上f′(x)<0,得出f(x)在区间(-1,1)上单调递减.进而求出函数的最大最小值.进而证明题设.
(III)设切点为M(x
,y
),求出切线方程.点p代入切线方程,因由三条切线,可推出关于x
的方程有3个根,通过导函数求出m的值.在(0,2)求得p对应的面积,再通过对称性,得出答案.
解答:解:(I)由题意f(0)=0,
∴d=0,
∴f′(x)=3x
2+2bx+c,又f′(1)=f′(-1)=0,
即
,
解得b=0,c=-3.
∴f(x)=x
3-3x;
(II)∵f(x)=x
3-3x,f′(x)=3x
2-3=3(x+1)(x-1),
当-1<x<1时,f′(x)<0,
故f(x)在区间[-1,1]上为减函数,
∴f
max(x)=f(-1)=2,f
min(x)=f(1)=-2
对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x
1,x
2,
∴|f(x
1)-f(x
2)|≤f(-1)-f(1)=4;
(III)设切点为M(x
,y
),
则点M的坐标满足y
=x
3-3x
.
因f′(x
)=3(x
2-1),
故切线l的方程为:y-y
=3(x
2-1)(x-x
),
∵P(m,n)∈l,∴n-(x
3-3x
)=3(x
2-1)(m-x
)
整理得2x
3-3mx
2+3m+n=0.
∵若过点P(m,n)可作曲线y=f(x)的三条切线,
∴关于x
方程2x
3-3mx
2+3m+n=0有三个实根.
设g(x
)=2x
3-3mx
2+3m+n,
则g′(x
)=6x
2-6mx
=6x
(x
-m),
由g′(x
)=0,得x
=0或x
=m.
由对称性,先考虑m>0
∵g(x
)在(-∞,0),(m,+∞)上单调递增,
在(0,m)上单调递减.
∴函数g(x
)=2x
3-3mx
2+3m+n的极值点为x
=0,或x
=m
∴关于x
方程2x
3-3mx
2+3m+n=0有三个实根的充要条件是
,
解得-3m<n<m
3-3m.
故0<m<2时,点P对应平面区域的面积
故|m|<2时,所求点P对应平面区域的面积为2S,即8.
点评:本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式.涉及单调性和极值问题时,常可利用导函数来解决问题.