Question

（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-1，0），且点P（0，1）在C₁上．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设直线l同时与椭圆C₁和抛物线C₂：y²=4x相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）因为椭圆C₁的左焦点为F₁（-1，0），所以c=1，点P（0，1）代入椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，得b=1，由此能求出椭圆C₁的方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+m，由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．因为直线l与椭圆C₁相切，所以△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0．由此能求出直线l的方程．

解答：解：（1）因为椭圆C₁的左焦点为F₁（-1，0），所以c=1，
点P（0，1）代入椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，得

1

b2

=1，即b=1，
所以a²=b²+c²=2
所以椭圆C₁的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）直线l的斜率显然存在，
设直线l的方程为y=kx+m，
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，消去y并整理得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
因为直线l与椭圆C₁相切，
所以△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0
整理得2k²-m²+1=0①
由

y2=4x y=kx+m

，消去y并整理得k²x²+（2km-4）x+m²=0
因为直线l与抛物线C₂相切，所以△=（2km-4）²-4k²m²=0
整理得km=1②
综合①②，解得

k= 2 2 m= 2

或

k=- 2 2 m=- 2

所以直线l的方程为y=

2

2

x+

2

或y=-

2

2

x-

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．