Question

设（5x-

1

x

）ⁿ的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M-N=240，则展开式中x的系数为

 

．

Answer 1

分析：根据M-N=240，解得 2ⁿ 的值，可得 n=4．再求出（5x-

1

x

）ⁿ的展开式的通项公式，令x的幂指数等于1，求得r的值，即可求得展开式中x的系数．

解答：解：由于（5x-

1

x

）ⁿ的展开式的各项系数和M与变量x无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5-1）ⁿ=4ⁿ．
再由二项式系数和为N=2ⁿ，且M-N=240，可得 4ⁿ-2ⁿ=240，即 2²ⁿ-2ⁿ-240=0．
解得 2ⁿ=16，或 2ⁿ=-15（舍去），∴n=4．
（5x-

1

x

）ⁿ的展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 4

•（5x）^4-r•（-1）^r•x-

r

2

=（-1）^r•

C

r 4

•5^4-r•x4-

3r

2

．
令4-

3r

2

=1，解得 r=2，∴展开式中x的系数为 （-1）^r•

C

r 4

•5^4-r=1×6×25=150，
故答案为 150•

点评：本题主要考查二项式的各项系数和与二项式系数和的关系，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．