Question

甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额都为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为（n²-n+2）万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多万元．
（1）设甲、乙两超市第n年销售额分别为a_n，b_n，求a_n，b_n的表达式；
（2）若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年．

Answer 1

解：（1）设甲超市前n年总销售额为S_n，则S_n=（n²-n+2）．
因n=1时，a₁=a；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²-n+2）-[（n-1）²-（n-1）+2]=a（n-1），
故a_n= 又因b₁=a，n≥2时，b_n-b_n-1=（）^n-1a．
故b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=a+a+（）²a+…+（）^n-1a=[1++（）²+…+（）^n-1]a=×a=[3-2•（）^n-1]a．
显然n=1也适合，故b_n=[3-2•（）^n-1]a（n∈N^*）．
（2）当n=2时，a₂=a，b₂=a，有a₂＞b₂；当n=3时，a₃=2a，b₃=a，有a₃＞b₃；
当n≥4时，a_n≥3a，而b_n＜3a，故乙超市有可能被收购．
当n≥4时，令a_n＞b_n，则（n-1）a＞[3-2•（）^n-1]a，∴n-1＞6-4•（）^n-1，即n＞7-4•（）^n-1．
又当n≥7时，0＜4•（）^n-1＜1，故当n∈N^*且n≥7时，必有n＞7-4•（）^n-1．
即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．
分析：（1）利用S_n=（n²-n+2），即a_n=S_n-S_n-1，可求a_n的表达式；n≥2时，b_n-b_n-1=（）^n-1a，利用b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1），可求b_n的表达式；
（2）利用（1）中a_n，b_n的表达式，代入求解，计算可得第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．
点评：本题考查数列的通项，考查叠加法，考查利用数列知识解决实际问题，确定数列的通项是关键．