Question

（本题满分14分）已知函数 

（Ⅰ）设在区间的最小值为，求的表达式；

（Ⅱ）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

(1) ；(2) ；

【解析】

试题分析：(1)由于，当时，

（1分）

当时，在上为增函数，；（3分）

当时， ；（5分）

当时，在上为减函数，.（7分）

综上可得（8分）

(2) ，在区间[1,2]上任取、，且

则

      （*）（10分）

在上为增函数，

∴(*)可转化为对任意、

即   （12分） 

因为，所以 ，由得，解得；

所以实数的取值范围是                   （14分）

（2）另解： 

由于对勾函数在区间上递减，在区间上递增；

（10分）

∴当时，，由题应有       （12分）

当时为增函数满足条件。

故实数的取值范围是                                （14分）

考点：本题考查了函数最值的求法及单调性的运用

点评：二次函数在闭区间上的最值受制于对称轴与区间的相对位置关系，特别是含参数的两类“定区间动轴、定轴动区间”的最值问题，要考察区间与对称轴的相对位置关系，分类讨论常成为解题的通法．