Question

15．如图是一个几何体的正视图和俯视图．
（1）试判断该几何体是什么几何体？（不用说明理由）
（2）请在正视图的正右边画出其侧视图，并求该平面图形的面积；
（3）求出该几何体的体积与表面积．

Answer 1

分析 （1）直接说明几何体的形状即可．
（2）画出侧视图利用三视图的数据求解即可．
（3）利用几何体的体积以及表面积公式求解即可．

解答 解：（1）答：由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．
（2）解：该几何体的侧视图如图．其中AB=AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图正六边形对边的距离，即BC=$\sqrt{3}$a，AD是正六棱锥的高，即AD=$\sqrt{3}$a，所以该平面图形的面积为$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$a•$\sqrt{3}$a=$\frac{3}{2}$a²．
（3）解：设这个正六棱锥的底面积是S，体积为V，
则S=6×$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$a²，
所以V=$\frac{1}{3}$×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$a²×$\sqrt{3}$a=$\frac{3}{2}$a³.${S_表}={S_底}+{S_侧}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}{a^2}+6×\frac{1}{2}a•\frac{{\sqrt{15}}}{2}a=\frac{{3\sqrt{3}+3\sqrt{15}}}{2}{a^2}$．

点评 本题考查几何体的体积的求法，面积的求法，三视图的应用，考查空间想象能力以及计算能力．