Question

已知f（x）=（x-1）²，数列{a_n}是首项为a₁，公差为d的等差数列；{b_n}是首项为b₁，公比为q（q∈R且q≠1）的等比数列，且满足a₁=f（d-1），a₃=f（d+1），b₁=f（q+1），b₃=f（q-1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若存在c_n=a_n•b_n（n∈N^*），试求数列{c_n}的前n项和；
（Ⅲ）是否存在数列{d_n}，使得对一切大于1的正整数n都成立，若存在，求出{d_n}；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可得，a₃-a₁=d²-（d-2）²=2d
∴d=2
由等差数列的通项公式可得，a_n=2n-2（n∈N^*）；
∵b₃=（q-2）²=q²•q²
∴q²±q?2=0∴q=-2
∴b_n=（-2）ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（Ⅱ）由（I）可得，C_n=a_n•b_n=2（n-1）•（-2）ⁿ⁺¹
∴S_n=2×0×（-2）²+2×1×（-2）³+2（n-1）×（-2）ⁿ⁺¹
-2S_n=2×0×（-2）³+2×1×（-2）⁴+…+（2（n-1）•（-2）ⁿ⁺²
错位相减法，可得
（Ⅲ）假设存在满足条件的数列{d_n}，则有d₁=a₂=2，且有
d_n=（-2）^n-1-2d_n-1，两边同除以（-2）^n-1可得
令，则有
故{A_n}是首项为-1，公差为的等差数列，则，
故d_n=（n+1）（-2）^n-1．
分析：（I）利用等差数列及等比数列的通项公式可求公差d及公比q，代入到等差数列及等比数列的通项公式可求
（II）由（I）可求C_n，结合数列C_n的特点，考虑利用错位相减法求和即可
（III）假设存在满足条件的数列{d_n}，则有d₁=a₂=2，且有代入整理可得，利用等差数列的通项可求
点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的求解、而错位相减法求解数列的和一直是数列求和中的重点和难点，构造特殊的数列（等差、等比）是数列通项求解的难点．