Question

16．已知公差为2的等差数列{a_n}及公比为2的等比数列{b_n}满足a₁+b₁＞0，a₂+b₂＜0，则a₃+b₃的取值范围是（-∞，-2）．

Answer 1

分析 由题意列关于a₁、b₁的不等式组，再把a₃+b₃转化为含有a₁、b₁的线性目标函数，利用线性规划知识求得a₃+b₃的取值范围．

解答 解：由题意可得，a₁+2+2b₁＜0，
又a₁+b₁＞0，∴2+b₁=-（a₁+b₁）＜0，
则b₁＜-2，∴-b₁＞2，
则a₁＞-b₁＞2．
∴约束条件为$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}＞2}\\{{b}_{1}＜-2}\\{{a}_{1}+{b}_{1}＞0}\\{{a}_{1}+2{b}_{1}+2＜0}\end{array}\right.$，
目标函数z=a₃+b₃=a₁+4b₁+4．
由约束条件作出可行域如图：
化目标函数为${b}_{1}=-\frac{{a}_{1}}{4}+\frac{z}{4}-1$，
由图可知，当直线${b}_{1}=-\frac{{a}_{1}}{4}+\frac{z}{4}-1$过A（2，-2）时，直线在y轴上的截距最大，
z有最大值为2+4×（-2）+4=-2．
故答案为：（-∞，-2）．

点评 本题是等差数列与等比数列的综合题，考查数学转化思想方法和数形结合的数学思想方法，是中档题．