Question

【题目】设函数 ，若对任意的x∈R，f（x）＞x恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A.（﹣2，e）
B.（﹣∞，e）
C.（1，+∞）
D.（﹣∞，1）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：设 ，

依题意可知g（x）＞0恒成立，

⑴当x＜0时， ，

∴a＞﹣2；

⑵当x≥0时，f′（x）=ex﹣a，当a∈（﹣2，1]时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，

所以f（x）min=f（0）=1＞0，满足题意；

当a＞1时，令f′（x）=0，得x=lna，

当x∈[0，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

所以当x=lna时，f（x）取得极小值，且为最小值f（lna）=a﹣alna，

根据题意，a﹣alna＞0，所以1﹣lna＞0，lna＜1，a＜e，

∴a∈（1，e）．

综上所述，实数a的取值范围是（﹣2，e）．

故答案为：A．

由题意可得设 g ( x ) = f ( x ) x，对分段函数进行讨论，当x＜0时， g ( x )=a+()+(x)，根据基本不等式可得 g ( x )≥ a + 2 > 0， 即得a＞﹣2。当x≥0时，求导可得f′（x）≥0，f（x）单调递增，即得f（x）min=f（0）=1＞0。利用导数求得函数增减性和最小值，根据题意，a﹣alna＞0解得1<a＜e,综上所述实数a的取值范围是（﹣2，e）。