Question

若函数f（x）=3sin（2x+φ）对任意x都有f(

π

3

-x)=f(

π

3

+x)．
（1）求f(

π

3

)的值．（2）求φ的最小正值．（3）函数f（x）的图象可由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到．

Answer 1

分析：（1）根据f(

π

3

-x)=f(

π

3

+x)可知x=

π

3

是f（x）的对称轴，进而可推断它在对称轴处有最大或最小值，进而求得f(

π

3

)值．（2）把x=

π

3

代入函数f（x），再根据f(

π

3

)=±3进而可求得φ．
（3）根据函数图象的变换原则可知，函数f（x）的图象由函数y=sinx的图象向左平移

5π

6

个单位，再将横坐标缩短到原来的

1

2

倍，把纵坐标伸长到原来3倍得到的．

解答：解：（1）由f(

π

3

-x)=f(

π

3

+x)，得x=

π

3

是f（x）的对称轴，它在对称轴处有最大或最小值，∴f(

π

3

)=±3；
（2）由（1）得3sin(2•

π

3

+φ)=±3，∴sin(

2π

3

+φ)=±1，于是

2π

3

+φ=kπ+

π

2

，
∴φ=kπ-

π

6

，取k=1，得φ的最小正值为

5π

6

；
（3）由（2）得f(x)=3sin(2x+

5π

6

)，把函数y=sinx的图象向左平移

5π

6

个单位，
得y=sin(x+

5π

6

)，再将横坐标缩短到原来的

1

2

倍得y=sin(2x+

5π

6

)，后把纵坐标伸长到原来3倍即得函数f(x)=3sin(2x+

5π

6

)的图象

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换和图象的性质．属基础题．