【题目】为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：
，
得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）记
表示事件“从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于80分”，估计的概率；
（Ⅲ）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请在答题卡上将
列联表补充完整，并判断是否有
的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？
参考公式及数据：
，
．
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）0.35（Ⅲ）见解析，没有
的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．
【解析】
（Ⅰ）根据频率直方图中所有小矩形的面积之和为1这一性质进行求解即可；
（Ⅱ）结合（1）的结论，求出比赛成绩不低于
分的频率即可；
（Ⅲ）结合（2）的结论，先求出比赛成绩优秀的人数，这样可以完成
列联表，再根据题中所给的公式求出
的值，结合参考数据进行判断即可.
（Ⅰ）由题意可
，解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则比赛成绩不低于80分的频率为
，故从参加冬奥会知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于80分的频率约为0.35
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀
人，
由此可得完整的列联表：
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
男生 | 10 | 40 | 50 |
女生 | 25 | 25 | 50 |
合计 | 35 | 65 | 100 |
所以的观测值
所以没有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．
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【题目】设
、
分别是椭圆
的左、右焦点.若
是该椭圆上的一个动点，
的最大值为1.
（1）求椭圆
的方程；
（2）设直线
与椭圆交于
两点，点
关于
轴的对称点为
(与
不重合)，则直线
与轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.
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【题目】在四棱锥P-ABCD中，
平面ABCD，
，
，
，
，E为PD的中点，点F在PC上，且
．
（1）求证：平面
平面PAD；
（2）求二面角F-AE-P的余弦值．
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【题目】选修4-4：极坐标与参数方程
在极坐标系下，已知圆O：
和直线
（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；
（2）当
时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．
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【题目】根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量
（百千克）与某种液体肥料每亩使用量
（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.
（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数
并加以说明（若
，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（2）求关于的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为
千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？
附：相关系数公式
，回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
.
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【题目】如图，矩形
为一张台球桌面，
，
.从点
击出一个球，其可无限次经台球桌四边反弹运行.已知该球经过矩形的中心
.
（1）试求所有整点
的个数，使得该球可以经过点
；
（2）若该球在上述
、两点间的最短路径长为
，求的最大值.
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【题目】对由
个
、个
和个
排成的行，在其下面重新定义一行（比上面一行少一个字母）.若其头上的两个字母不同，则在该位置写上第三个字母；若其头上的两个字母相同，则在该位置写上该字母.对新得到的行重复上面的操作，直到变为一个字母为止.图给出了
的一个例子.
求所有的正整数，使得对任意的初始排列，经上述操作后，所得到的三角形的三个顶点上的字母要么全相同，要么两两不同.
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