Question

【题目】已知函数f（x）=log4（22x+1）+mx的图象经过点 .

（Ⅰ）求m值并判断的奇偶性；

（Ⅱ）设g（x）=log4（2x+x+a）f（x），若关于x的方程f（x）=g（x）在x∈[-2，2]上有且只有一个解，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）m=-；偶函数（II）-≤a≤6

【解析】

（Ⅰ）把点P的坐标代入函数f（x），求得m的值；写出f（x）的解析式，判断f（x）的奇偶性；

（II）根据题意，把方程化为对数方程，求出a的解析式，计算满足条件时a的取值范围．

解：（Ⅰ）函数f（x）=log4（22x+1）+mx的图象经过点p（，-+log23），

则-+log23=log4（23+1）+m，m=-；

所以f（x）=log4（22x+1）-x，且定义域为R，

∴f（-x）=log4（2-2x+1）+x=log4+x=log4（4x+1）-x=f（x），

则f（x）是偶函数；

（II）根据f（x）=g（x），得log4（4x+1）-x=log4（4x+1）-log42x=log4，

则方程化为log4（2x+x+a）=log4，

得2x+x+a=＞0，

化为a=-x，且在x∈[-2，2]上单调递减，

所以使方程有唯一解时a的范围是-≤a≤6．