Question

17．已知点P在函数$f（x）=ln（{2x+1}）+\frac{{{x^2}+x}}{8}$图象上，则函数f（x）在点P处切线倾斜角α的取值范围（　　）

• A． $[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$
• B． $[{\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}}]$
• C． $[{\frac{π}{4}，π}）$
• D． $[{0，\frac{π}{4}}]$

Answer 1

分析 求出函数的导数，求得切线的斜率，由基本不等式可得切线的斜率的范围，由直线的斜率公式，结合正切函数的图象和直线的倾斜角的范围，即可得到所求范围．

解答 解：函数$f（x）=ln（{2x+1}）+\frac{{{x^2}+x}}{8}$的导数为f′（x）=$\frac{2}{2x+1}$+$\frac{1}{8}$（2x+1），
由2x+1＞0，可得$\frac{2}{2x+1}$+$\frac{1}{8}$（2x+1）≥1，
当且仅当2x+1=4，即x=$\frac{3}{2}$时，取得最小值1．
即有曲线在点（x，y）处切线的斜率k≥1，
即有tanα≥1（α为倾斜角），
则有$\frac{π}{4}$≤α＜$\frac{π}{2}$．
故选A．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的倾斜角的范围，同时考查基本不等式的运用，属于中档题．