Question

已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（

3

，-1）．
（1）求sin2α-tanα的值：
（2）若函数f（x）=sin2x•cosα+cos2x•sinα，求f（x）在[0，

2π

3

]上的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）根据角α的终边经过点P（

3

，-1），利用任意角的三角函数的定义求得sinα、cosα、tanα 的值，即可求得
 sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα 的值．
（2）利用三角函数的恒等变换化简 函数f（x）的解析式为sin（2x-

π

6

），令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，
求得x的范围，再结合所给的x的范围，即可求得函数f（x）在[0，

2π

3

]上的单调递增区间．

解答：解：（1）∵角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（

3

，-1）．
∴x=

3

，y=-1，r=

x2+y2

=2，∴sinα=

y

r

=-

1

2

，cosα=

x

r

=

3

2

，tanα=

y

x

=-

3

3

．
∴sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα=2×（-

1

2

）×

3

2

+

3

3

=-

3

6

．
（2）∵函数f（x）=sin2x•cosα+cos2x•sinα=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈z．
再由 0≤x≤

2π

3

，可得函数的增区间为[0，

π

3

]

点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性的应用，属于中档题．