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(本小题满分13分)

已知数列{an}中,a2p(p是不等于0的常数),Sn为数列{an}的前n项和,若对任意的正整数n都有Sn=.

(1)证明:数列{an}为等差数列;(2)记bn=+,求数列{bn}的前n项和Tn

(3)记cnTn-2n,是否存在正整数N,使得当nN时,恒有cn∈(,3),若存在,请证明你的结论,并给出一个具体的N值;若不存在,请说明理由.

 

 

【答案】

解析:(1)由S1a1==0得a1=0,

n≥2时,anSnSn1=-an1,故(n-2)an=(n-1)an1

故当n>2时,anan1=··…····a2=(n-1)p,由于n=2时a2pn=1时a1=0,也适合该式,故对一切正整数nan=(n-1)pan1anp,由于p是常数,故数列{an}为等差数列.

(2)Sn==,

bn=+=+=2+2(-),

Tn=2n+2(1-+-+-+-+…+-+-)

=2n+2(1+--)

=2n+3-2(+).

(3)cnTn-2n=3-2(+)<3对所有正整数n都成立;

cn>,即3-2(+)>⇒+<,记f(n)=+,则f(n)单调递减,又f(6)=+>+=,f(7)=+<+=,故只要取N=6,则当nN时,f(n)<.故存在正整数N,使得当nN时,恒有cn∈(,3).N可以取所有不小于6的正整数.

 

【解析】略

 

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